Складна динаміка дифузії інновацій
Малярець Л. М., Воронін А. В., Лебедєва І. Л., Лебедєв С. С.

Malуarets, Lyudmyla M. et al. (2025) “Complex Dynamics of Innovation Diffusion.” The Problems of Economy 4:417–427.
https://doi.org/10.32983/2222-0712-2025-4-417-427

Розділ: Математичні методи та моделі в економіці

УДК 330.46

Анотація:
Для пошуку інноваційних шляхів сталого зростання у тренді глобального економічного зростання необхідно мати формалізовані підходи у межах синергетичної парадигми – теорії самоорганізації у відкритих нерівноважних системах. У якості одного з найважливіших таких напрямків можна виділити концепцію дифузії інновацій. У даному дослідженні було розглянуто класичну логістичну модель розповсюдження інноваційного продукту. Розбудова математичної моделі було реалізовано на основі динамічного балансу «попит – пропозиція» на ринку інновацій як у дискретному, так і у неперервному часі. При цьому було враховано наявність лінійної залежності попиту від загального обсягу інноваційної продукції, а з боку пропозиції – розглянуто можливість існування технологічних обмежень виробництва. що відображається у формі квадратичної залежності функції пропозиції від кількості інноваційної продукції. При побудові дискретної динамічної моделі було виконано перетворення базового балансового співвідношення до вигляду класичного логістичного рівняння з відомими властивостями, ретельний аналіз наведено в роботі. Теоретичні результати було підтверджено завдяки проведенню відповідних числових розрахунків та імітаційного моделювання, завдяки чому проілюстровано такі важливі динамічні режими як граничні цикли з подвоєнням періодів, нерегулярна хаотична поведінка та інші. У неперервному часі побудовано математичну модель дифузії інновацій з урахуванням запізнення (розподіленого часового лагу), що розглядається як динамічний процес другого порядку. Модель приведено до вигляду системи двох диференціальних рівнянь, в якій може існувати граничні цикли з різним характером стійкості. Обидві математичні моделі – дискретна і неперервна – мають ті ж самі рівноважні стани (нерухомі точки), а динаміка поведінки в околі цих точок суттєво залежить від початкових умов.

Ключові слова: динамічна рівновага попиту і пропозиції за інноваціями, логістична крива, динамічна пам’ять, стійкість положень рівноваги (нерухомих точок), граничний цикл, атрактор і репульсор, біфуркація, хаос.

Рис.: 6. Формул: 32. Бібл.: 51.

Малярець Людмила Михайлівна – доктор економічних наук, професор, завідувач кафедри, кафедра економіко-математичного моделювання, Харківський національний економічний університет імені Семена Кузнеця (пр. Науки, 9а, Харків, 61166, Україна)
Email: malyarets@ukr.net
Воронін Анатолій Віталійович – кандидат технічних наук, доцент, доцент, кафедра економіко-математичного моделювання, Харківський національний економічний університет імені Семена Кузнеця (пр. Науки, 9а, Харків, 61166, Україна)
Email: voronin61@ ukr.net
Лебедєва Ірина Леонідівна – кандидат фізико-математичних наук, доцент, доцент, кафедра економіко-математичного моделювання, Харківський національний економічний університет імені Семена Кузнеця (пр. Науки, 9а, Харків, 61166, Україна)
Email: irina.lebedeva@hneu.net
Лебедєв Степан Сергович – старший викладач, кафедра економіко-математичного моделювання, Харківський національний економічний університет імені Семена Кузнеця (пр. Науки, 9а, Харків, 61166, Україна)
Email: stepan.lebedev@hneu.net

Список використаних у статті джерел

Shone R. An Introduction to Economic Dynamics. New York : Cambridge University Press, 2003. URL: http://ndl.ethernet.edu.et/bitstream/123456789/8962/1/86%20.%20Ronald_Shone.pdf
Radzicki M. J. System dynamics and its contribution to economics and economic modeling // Encyclopedia of Complexity and Systems Science / R. Meyers (ed.). Berlin, Heidelberg : Springer, 2019. DOI: 10.1007/978-3-642-27737-5_539-2
Yusupova A., Pavlidis N. G., Pavlidis E. G. Dynamic linear models with adaptive discounting. International Journal of Forecasting. 2023. Vol. 39. No. 4. P. 1925–1944. DOI: 10.1016/j.ijforecast.2022.09.006
Mallari C. B., Li R., San Juan J. L. A system dynamics model for analyzing the circular economy rebound. Chemical Engineering Transactions. 2024. Vol. 114. P. 337–342. DOI: 10.3303/CET24114057
King B., Kowal D. R. Warped dynamic linear models for time series of counts. Bayesian Analysis. 2025. Vol. 20. No. 1. P. 29–54. DOI: 10.1214/23-BA1394
Zhang W.-B. Synergetic Economics. Time and Change in Nonlinear Economics. Berlin, Heidelberg : Springer, 1991.
Дербенцев В. Д., Сердюк О. А., Соловйов В. М., Шарапов О. Д. Синергетичні та еконофізичні методи дослідження динамічних та структурних характеристик економічних систем. Черкаси : Брама-Україна, 2010. 400 с.
Шевцова Г. З. Синергетичний менеджмент підприємств. Київ : НАН України, Інститут економіки промисловості, 2016. 454 с.
Tchuta L., Xie F. Towards a synergic innovation management model: the interplay of market, technology, and management innovations. International Journal of Business and Economic Development. 2017. Vol. 5. No. 1. P. 60–70.
Коломієць С. В. Категорії синергетики в економічних дослідженнях: нелінійність соціально-економічних систем. Вчені записки ТНУ імені В. І. Вернадського. Серія : Економіка і управління. 2020. Т. 70. No 3. С. 191–197. DOI: 10.32838/2523-4803/70-3-66
Li Z., Li H., Wang S., Lu X. The impact of science and technology finance on regional collaborative innovation: the threshold effect of absorptive capacity. Sustainability. 2022. Vol. 14. No. 23. Article 15980. DOI: 10.3390/su142315980
Bushuyev S., Bushuyeva N., Puziichuk A., Bushuiev D. Development of innovation projects based on the synergy TRIZ principle and AI technology. Technology Audit and Production Reserves. 2025. No. 1/2(81). P. 34–42. DOI: 10.15587/2706-5448.2025.322052
Puu T. Attractors, Bifurcations, & Chaos. Nonlinear Phenomena in Economics. Berlin, Heidelberg : Springer, 2003.
Бутник О. М. Економіко-математичне моделювання перехідних процесів у соціально-економічних системах. Харків : ВД «ІНЖЕК» ; СПД Лібуркіна Л. М., 2004.
Zhang W.-B. Differential Equations, Bifurcations, and Chaos in Economics. Singapore : World Scientific, 2005. DOI: 10.1142/5827
Grandmont J.-M. Nonlinear difference equations, bifurcations and chaos: an introduction. Research in Economics. 2008. Vol. 62. No. 3. P. 122–177. DOI: 10.1016/j.rie.2008.06.003
Черняк О. І., Захарченко П. В., Клебанова Т. С. Теорія хаосу в економіці. Бердянськ : Видав. Ткачук О. В., 2014.
Кондратьєва Т. В. Точки біфуркації на траєкторії розвитку соціально-економічних систем. Економічний вісник Донбасу. 2015. № 40 (2). С. 39–44.
Voronin A., Gunko O. Methods of comparative statics and dynamics in the theory of economic cycles. Innovative Technologies and Scientific Solutions for Industries. 2021. No. 16 (2). P. 46–53. DOI: 10.30837/ITSSI.2021.16.046
Samuilik I., Sadyrbaev F., Atslega S. Mathematical modelling of nonlinear dynamic systems. Engineering for Rural Development. 2022. DOI: 10.22616/ERDev.2022.21.TF051
Barnett W. A., Han R. Economic Bifurcation and Chaos. Singapore : World Scientific, 2025. DOI: 10.1142/13852
Van Der Duin P., Ortt R., Kok M. The cyclic innovation model: a new challenge for a regional approach to innovation systems? European Planning Studies. 2007. Vol. 15. No. 2. P. 195–215. DOI: 10.1080/09654310601078689
Омельченко Р. В. Інноваційні фактори циклічності економічного розвитку. Економічний часопис – ХХІ. 2011. No 1–2. С. 31–34.
Uriona M., Grobbelaar S. Innovation system policy analysis through system dynamics modelling: a systematic review. Science and Public Policy. 2019. Vol. 46. No. 1. P. 28–44. DOI: 10.1093/scipol/scy034
Gabrovski M. Simultaneous innovation and the cyclicality of R&D. Review of Economic Dynamics. 2020. Vol. 36. P. 122–133. DOI: 10.1016/j.red.2019.09.002
Guidolin M., Manfredi P. Innovation diffusion processes: concepts, models, and predictions. Annual Review of Statistics and Its Application. 2023. Vol. 10. P. 451–473. DOI: 10.1146/annurev-statistics-040220-091526
Liu Y., Chen Y., He Q., Yu Q. Cyclical evolution of emerging technology innovation network from a temporal network perspective. Systems. 2023. Vol. 11, No. 2. Article 82. DOI: 10.3390/systems11020082
Ahmad M., Haq Z. U., Khan S. Business cycles and the dynamics of innovation: a theoretical perspective. Journal of the Knowledge Economy. 2024. Vol. 15. P. 1418–1436. DOI: 10.1007/s13132-023-01155-6
Rodkina A., Kelly C. Stochastic difference equations and applications // International Encyclopedia of Statistical Science / M. Lovric (ed.)Berlin, Heidelberg : Springer, 2011. DOI: 10.1007/978-3-642-04898-2_568
Bekey G. A. Analysis and synthesis of discrete-time systems. Scientia Iranica. 2011. Vol. 18. No. 3. P. 639–654. DOI: 10.1016/j.scient.2011.05.002
Ortigueira M. D., Coito F. J. V., Trujillo J. J. Discrete-time differential systems. Signal Processing. 2015. Vol. 107. P. 198–217. DOI: 10.1016/j.sigpro.2014.03.004
Althagafi H., Ghezal A. Analytical study of nonlinear systems of higher-order difference equations: solutions, stability, and numerical simulations. Mathematics. 2024. Vol. 12. No. 8. Article 1159. DOI: 10.3390/math12081159
Gaishun I. V. Linear systems of variable structure. Controllability and observability. Diferential Equations. 2000. Vol. 36. No. 11. P. 1692–1698.
Yamazaki T., Hagiwara T. Conversion of linear time-invariant delay-differential equations with external input and output into representation as time-delay feedback systems. SICE Journal of Control, Measurement, and System Integration. 2012. Vol. 5. No. 4. P. 200–209. DOI: 10.9746/jcmsi.5.200
Borukhov V. T. Strong embeddability of time-invariant nonlinear differential systems in linear differential systems. Diferential Equations. 2019. Vol. 55. P. 303–312. DOI: 10.1134/S0012266119030030
Weng P. C.-Y., Phoa F. K. H. Perturbation analysis of continuous-time linear time-invariant systems. Advances in Pure Mathematics. 2020. Vol. 10. No. 4. Article 99413. URL: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Invernizzi S., Medio A. On lags and chaos in economic dynamic models. Journal of Mathematical Economics. 1991. Vol. 20. No. 6. P. 521–550. DOI: 10.1016/0304-4068(91)90025-O
Voronin A. V., Zheleznyakova E. Yu. The problem of sustainability of the managed innovation process. The Journal of V. N. Karazin Kharkiv National University. Series “International Relations. Economy. Local Studies. Tourism”. 2020. No. 11. P. 46–53. DOI: 10.26565/2310-9513-2020-11-05
Wu H., Li C., He Z., Wang Y., He Y. Lag synchronization of nonlinear dynamical systems via asymmetric saturated impulsive control. Chaos, Solitons & Fractals. 2021. Vol. 152. Article 111290. DOI: 10.1016/j.chaos.2021.111290
Ford N. J. Mathematical modelling of problems with delay and after-effect. Applied Numerical Mathematics. 2025. Vol. 208 (B). P. 338–347. DOI: 10.1016/j.apnum.2024.10.007
Olson D. L. Software Process Simulation // Encyclopedia of Information Systems / H. Bidgoli (ed.) Elsevier, 2003. P. 143–153. DOI: 10.1016/B0-12-227240-4/00163-5
Томашевський В. М. Моделювання систем. Київ : Видавнича група BHV, 2005. 352 с.
Згуровський М. З., Панкратова Н. Д. Основи системного аналізу. Київ : Видавнича група BHV, 2007. 544 с.
Lahellec A., Hallegatte S., Grandpeix J.-Y., Dumas P., Blanco S. Feedback characteristics of nonlinear dynamical systems. Europhysics Letters. 2008. Vol. 81. Article 60001. DOI: 10.1209/0295-5075/81/60001
Коляда Ю. В. Адаптивна парадигма моделювання економічної динаміки. Київ : КНЕУ, 2011. 248 с.
Воронін А. В. Стійкість і біфуркації у моделях інвестиційних стратегій підприємства // Математичні методи і моделі в управлінні економічними процесами. Харків : ХНЕУ ім. С. Кузнеця, 2016. С. 56–72.
Samuelson P. A. Foundations of Economic Analysis. Cambridge : Harvard University Press, 1947. 447 р.
Dvoskin A., Lazzarini A. On Walras's concept of equilibrium. Review of Political Economy. 2012. Vol. 25. No. 1. P. 117–138. DOI: 10.1080/09538259.2013.737127
Bobrowski D. Wprowadzenie do systemow dynamicznych z czasem dyskretnym. Poznan : UAM, 1998. 292 s.
Crownover R. M. Introduction to Fractals and Chaos. Boston; London : Jones & Bartlett Publishers, 1995. 528 р.
Voronin A. V. Cycles in Tasks of Nonlinear Macroeconomics. Kharkiv : INJEC, 2006. 180 р.